aprendiendo a despejar : 2014

jueves, 27 de noviembre de 2014

Para ecuaciones sencillas como esta que hemos colocado arriba, lo cierto es que será raro equivocarnos,ya que tan sólo hemos de recordar como hemos de cambiar la operación de cada cifra al moverla a un lado del igual y que además tendremos que ir paso por paso hasta dejar a la X sola.

Otro truco, aunque yo no suelo fiarme mucho de este es la de utilizar solo números; me explico:

Si encuentras una formula X+B=C y quieres despejar la X por ejemplo, cambias las letras por numeros 5+4=9 asi que si tienes que despejar seria 5=9-4 es decir X=C-B de este modo podemos aprender la base de como comenzar a despejar una ecuación ya que poco a poco nos daremos cuenta de que la cosas se irá complicando con más números y operaciones.

Por otro lado para aquellas que sean algo más complicadas, tenemos trucos como por ejemplo:

Multiplicar o dividir por una constante distinta de cero ambos miembros de laecuación
Multiplicar por un polinomio ambos miembros de la ecuación

Ejemplo: Si en la ecuación 2x=10, multiplicamos por ( x -1), nos queda la ecuación) 2x (x-1)= 10 (x-1) y cuyas soluciones son 5 y 1. Se agregó una solución

Elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación.

Ejemplo : Si en la ecuación 1=x , cuya solución es explícita, elevamos ambos miembros al cuadrado nos queda 1^2=x^2 , donde el lector puede verificar que sussoluciones son -1 y 1. De nuevo se agregaron soluciones.

miércoles, 26 de noviembre de 2014

Despeje de fórmulas- ejemplo 5

Despeje de fórmulas- ejemplo 4

Despeje de fórmulas- ejemplo 3

Despeje de fórmulas- ejemplo 2

Despeje de fórmulas- ejemplo 1

Ejemplo de despejes

Ejemplo:

Despeje x en la siguiente ecuación x³ /3 + 4y = y²+ x²
Aplicando los pasos que se explicaron, tenemos:

1. 2x²+ 24y = 3y+ 6x² El M.C.M entre 3 y 2 es 6.

6 6

2. 2x² - 6x² = 3y - 24y Se agrupan términos semejantes

3. - 4x² = - 24y Se simplifican los términos semejantes.

4. x² = - 24y Se despeja la variable de interés (la x).

- 4

5. Se despeja x extrayendo raíz a ambos lados

En la ecuación x= (at²)/2

a)Despejar “a” 2x/a

Solución:

x = (at²)/2

2x = at²

(2x)/t² = a --> a = 2x/t²

b) Despejar "t"

Solución

x = (at²)/2

2x = at²

2x/a = t²

√t = √2x/a ---> t = √2x/a

Ejemplos:

1.-Despejemos x en la ecuación z= r t − wa + dxdy

z= rt − wa + dxdy zdy=rt−wa+dx
zdy−rt=wa+dx
zdy−rt+wa=dx
zdy−rt+wad=x
x=zdy−rt+wad

2. Encontremos el valor de z en la ecuación xs=rtz
xs=rtz
xsr=tz
xsrt=z
z=xsrt

3. Encontremos el valor de «y» en la ecuación r+y−s=q
r+y−s=q
y−s=q−r
y=q−r+s

Despejes de fórmula y Reglas para despejar

Despejes de fórmulas

Según el celebre libro "Álgebra Elemental" de Baldor, una fórmula es la expresión de una ley o de un principio general por medio de símbolos o letras. Citando las ventajas del uso de las fórmulas que nos muestra Baldor, tenemos:

Expresan de forma breve una ley o un principio general, esto es sin tantas palabras que tengamos que interpretar. Es más fácil decir F=m.a que: la fuerza aplicada es directamente proporcional a la masa de cuerpo multiplicada por la aceleración que este adquiere por motivo de la fuerza aplicada.

Son fáciles de recordar. Creo que no es necesario decir ningún ejemplo.

Su aplicación es muy fácil, pues para resolver un problema por medio de la fórmula adecuada, basta sustituir las letras por lo valores en el caso dado.

Despeje de variables en una fórmula

Reglas para despejar:

1.- Lo que está sumando pasa restando.

2.- Lo que está restando pasa sumando

3.- Lo que está multiplicando pasa dividiendo

4.- Lo que está dividiendo pasa multiplicando

5.- Si está con exponente pasa con raíz.

Con el siguiente procedimiento estarás en capacidad de despejar cualquier variable

en muchas fórmulas y ecuaciones de física, química, matemáticas etc.

Estos pasos deben aplicarse en el orden en que se presentan para obtener un despeje correcto.

1. Si existen denominadores, para eliminarlos debes hallar el común denominador A AMBOS LADOS de la fórmula.

2. Ahora lleva TODOS los términos que tengan la variable a despejar a un sólo lado de la fórmula, y los demás términos al otro lado; debes tener en cuenta que cuando pasas de un lado al otro los términos que estaban sumando pasan a restar y viceversa.

3.Suma los términos semejantes (si se puede).

4.TODOS los números y/o variables que acompañan la incógnita a despejar pasan

al otro lado a realizar la operación contraria: si estaban dividiendo pasan a multiplicar

y viceversa.( OJO: En este caso NUNCA se cambia de signo a las cantidades que

pasan al otro lado)

5.Si la variable queda negativa, multiplica por (-1) a AMBOS lados de la fórmula para

volverla positiva (en la práctica es cambiarle el signo a TODOS los términos de la

fórmula)

6.Si la variable queda elevada a alguna potencia (n), debes sacar raíz (n) a AMBOS

lados de la fórmula para eliminar la potencia. Ten en cuenta que no siempre es

necesario aplicar todos los pasos para despejar una incógnita.

Conceptos elementales- despejes

Conceptos elementales

MIEMBRO:
Es cada operación algebraica o aritmética planteada a cada lado de una igualdad o ecuación. Se llama PRIMER miembro a la operación que está a la derecha de la igualdad y
SEGUNDO miembro a la que está a su izquierda. Ej: 5X = 4X – 6
5X Es el Primer miembro
4X–6 Es el Segundo miembro

IGUALDAD:
Es toda igualdad donde la operación o resultado del primer miembro debe ser igual a la operación o resultado del segundo miembro. Ejemplo:2 + 3 = 1 + 8 – 4 esto comprueba 5 = 5

INCÓGNITA, VARIABLE O INDETERMINADA:
Es el valor desconocido o que puede tener diferentes o variados resultados. Generalmente se representan con letras o símbolos Ejemplo: X + 3 = 5 Esto indica que X tiene un valor definido X = 2 para que se cumpla la igualdad A + C = B Esto Indica que A y C pueden tener infinitos valores para que dé igual B

ECUACIÓN MATEMÁTICA:
Es toda igualdad que contenga una o varias incógnitas o variables. Posee 2 miembros bien definidos. Al Primer miembro pertenecen todos los elementos, términos o bloques que se encuentran a la derecha de la igualdad. Al segundo miembro pertenecen todos los elementos, términos o bloques que se encuentran a la izquierda de la igualdad
Su resolución es encontrar el valor de su(s) incógnita(s)
Ejemplo: X - 8 = 3    X–8 (primer miembro) = 3   (Segundo miembro)
(Puede observarse a simple vista que su resolución es X = 11)
Existen innumerables tipo matemáticas de ecuaciones algunas de ellas
Ecuación lineal Y = Ax + B          Ecuación cubica Y = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D
Ecuación cuadrática Ax2 + Bx + C = Y     Ecuación logarítmica Y = log b X

TÉRMINO, SUMANDO O BLOQUE:
Se considera un término o bloque a cada producto o cociente separado con sumas o restas.

FACTOR:
En toda multiplicación deben existir por lo menos 2 factores. Son cada uno de los elementos que forman parte de la multiplicación o de un cociente. Recuerde que AB = A.B
En un cociente o división se llaman NUMERADOR y DENOMINADOR Si el factor es –B puede decirse que a su vez tiene 2 factores -1 y B

video parte 6- aprendiendo a despejar

video parte 5- aprendiendo a despejar

video parte 4 - aprendiendo a despejar

video parte 3 - aprendiendo a despejar

video parte 2- aprendiendo a despejar

video parte 1- aprendiendo a despejar

Se muestra una serie de videos acerca de los despejes esta es la primera parte

ECUACIONES-despejes

ECUACIONES

La expresión 6x+4 puede tomar muchos valores, por ejemplo, si x toma los valores 1, 3.5, 10, los valores de la expresión son, respectivamente, 10, 22 y 64 mientras que la expresión − 2 x , para estos mismos valores de x toma los valores –2, -6 y –20.

Si escribimos 6 x + 4 = −2 x , se esta expresando que se tiene una igualdad entre las dos expresiones, la cual se cumple solo para ciertos valores de la incógnita, pues, como vimos, por ejemplo para x =3, no se cumple la igualdad. Precisamente, el objetivo de despejar es determinar los valores de la incógnita para los que si se cumple la igualdad.

a) Determina los valores que toman las siguientes expresiones 4 − 7z y 2 − z para los valores de z : -1,5,12

b) Determina para que valor o vales de la incógnita se cumple la igualdad de las dos expresiones.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS-despejes

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica consta de una letra o literal, que simboliza a un numero (real); esta literal esta elevada a una potencia. Si solo aparece por ejemplo la letra x, la potencia a la que se encuentra elevada es 1 y no cero. Si una literal se encuentra elevada a la potencia cero, su valor es 1, es decir: x0=1

x1 = x

Además de la literal y su exponente, la expresión algebraica lleva un coeficiente numérico (con su correspondiente signo). 3 Ejemplos: x3, 2z7, -37y8, x 5 , etc. 7 OJO El numero 3, por ejemplo, es una expresión algebraica ya que 3=+3x0, o sea que cualquier numero se puede considerar como una expresión algebraica.

Problemas a resolver:

1. Escriba cinco expresiones algebraicas

2. Escriba tres sumas de expresiones algebraicas, cada una con dos sumandos

3. Exprese que dos de las sumas anteriores son iguales

NIVEL 3 Los números reales-despejes

NIVEL 3 Los números reales

Los números a los que se refieren las expresiones y operaciones vistas anteriormente son los números reales. Los reales incluyen a los números Naturales Enteros Racionales Ejemplos 1,2,3... ...-2, -1, 0, +1 ,+2... 1 3 15 − , , , Etc., el 2 4 30 denominador diferente de 0 π , 2 , 5 , Etc.

Irracionales

Propiedades de los reales

Entre las propiedades importantes que se usan en los despejes están: 1. Si x es un real diferente de cero, existe un numero y tal que xy = 1 , siendo y el inverso multiplicativo de x y el numero 1 se llama el neutro multiplicativo.

Problemas:

Escriba el inverso multiplicativo de los siguientes números: 3 109-x -5 17 4 1 x − 5 6 π -66 2 1 a 2− x

2. Si x es un real existe un numero y tal que x + y = 0 , siendo y el inverso aditivo de x y al numera 0 se le llama el neutro aditivo.

Obtener los inversos aditivos de los siguientes números reales

z +5 2 -34 -x 2-x y+75 3 5 − 4 7

NIVEL 2 - despejes

NIVEL 2

Ahora trataremos la variante de lo visto en el nivel, que consiste en tener la incógnita en los dos miembros. a) Si se tiene

3x − 2 = 3 − 2 x ,

se trata de lograr que la incógnita aparezca en el mismo miembro, usando las mismas reglas ya vistas anteriormente: por ejemplo, si queremos que x este en el miembro izquierdo, sumaremos el numero 2x a ambos miembros: 3x − 2 + 2 x = 3 − 2 x + 2 x se tendrá 5x − 2 = 3 y ya está en una de las formas vistas antes. Si queremos que x aparezca en el miembro derecho, sumamos –3x a ambos miembros y tendremos: − 2 = 3 − 5x la cual ya se puede trabajar como antes. b) Si la incógnita esta como denominador: 3 =8 y Trataremos de que y aparezca como numerador (y lo trabajaremos como los casos anteriores), usando las reglas conocidas. (NOTA: y no puede ser cero pues esta como denominador) Multiplicando ambos miembros por y, se tiene, usando la propiedad del inverso multiplicativo, 3 = 8y que es uno de los casos ya vistos c) Si z aparece en los dos miembros, como denominador 3 7 =− z 1− z

Debemos de quitar a z como denominador (NOTA: z no puede ser 1). Si multiplicamos ambos miembros por z tendremos 7z 3= 1− z Ahora multiplicamos ambos miembros por 1-z 3(1-z)=7z o sea, 3-3z=7z y ya se puede trabajar como en casos anteriores.

Resuelve las siguientes ecuaciones -2+5z=33+6z

4x = 66 − 12 x 3 y-75+2y=24+y

2 =9 y−4 9 6 = 4−z z 88+y=2y-7

3 = 16 5x

8 6 = x − 2 3x − 1

HABILIDAD que se desarrolla Despejar la incógnita cuando las dos expresiones que se igualan la contienen y también cuando la incógnita se encuentra en el denominador.

SUMA-RESTA y MULTIPLICACIÓN-DIVISION

SUMA-RESTA y MULTIPLICACIÓN-DIVISION

Los casos como 3x − 2 = 6 son ahora fáciles de atacar: La expresión 3x − 2 consta de los sumandos 3 x y –2: Si primero quitamos el –2, usando suma-resta y después el 3 que esta multiplicando a la incógnita, usando multiplicación-división, entonces x queda despejada; una vez mas recordemos que las mismas operaciones que se hagan en el miembro izquierdo se debe de hacer en el miembro derecho de la ecuación. Ejemplo: Resolver 6 − 5 x = 8

OJO debemos tener claro que 6 − 5 x NO SIGNIFICA QUE a 6 se le reste 5 y lo que quede multiplique a; esto ultimo se escribiría (6 − 5) x .

Eliminamos al numero 6 sumando –6, quedando − 5x = 2 pues en el miembro derecho hicimos 8-6=2. El siguiente paso es multiplicar por –1/5 ambos miembros y se tiene x=-2/5.

Resolver las siguientes ecuaciones 2y-8=9 3-6z=-7 2 y ( ) x − 5 = −4 35=75 3 4z 5x − 4 = 5 + 7 = −6 7 33= 2 z − 12 12=-45-6z
HABILIDAD que se desarrolla: Despejar la incógnita z de expresiones como az + b = 0 en donde a y b representan números dados.

SUMA-RESTA

2. SUMA-RESTA

Si tenemos x+2=0, ahora deberemos quitar el numero 2 a x, pero no esta multiplicando a x, sino sumando; esto se logra si a la expresión x+2 le sumamos el numero -2; se usa entonces la

PROPIEDAD: Inverso aditivo de un numero a+(-a)=0 y se dice que a es el inverso aditivo de –a o que –a es el inverso aditivo de a

Al igual que en los casos anteriores, debemos de sumar -2 al miembro derecho; entonces tendremos: x=-2 Otro ejemplo: Si x-6=7, sumando el numero 6 (inverso aditivo de –6)a ambos miembros, se tiene x=13 Si tenemos 9-y=4, podemos sumar el inverso aditivo de –y para obtener 9=4+y ahora, sumando el inverso aditivo de 4: y=5 Obtener la solución de las siguientes ecuaciones:

-6+y=13 -3-x=-8 -9=6+z 13=x-8 6−z=6 3 = 2− y 4 3 +y=-7 3 3 2= +z 5

MULTIPLICACIÓN-DIVISION

NIVEL 1

1. MULTIPLICACIÓN-DIVISION POR EJEMPLO... Si la ecuación es 3x=6 Para despejar a x, debemos quitar el 3 que la multiplica. Si multiplicamos la expresión 3x por 1/3 entonces (1/3)(3x)=x. Aquí hemos usado la PROPIEDAD: Inverso multiplicativo de un numero real a 1 ( a )( )=1, siempre que a sea diferente de cero a Se dice que a es el inverso multiplicativo de 1/a y 1/a es el inverso multiplicativo de a ¡OJO! Para mantener la igualdad de la ecuación original, entre las dos expresiones, se debe multiplicar también a 6 por 1/3, quedando 6/3, entonces se cumple x=2 con lo cual, hemos despejado x y obtenido el valor que hace que se cumpla la ecuación original. Lo mismo se puede usar si se tiene, por ejemplo, x =6 5 Aquí se usa la propiedad del inverso multiplicativo para eliminar al numero 5, en realidad, al numero 1/5, ya que (1/5)x=x/5 Entonces multiplicaremos a la expresión x/5 por 5 ya que (1/5)(5)=1. Se tendrá 5(x/5)=x; no olvidar que se debe multiplicar también al 6 de la ecuación original: se tendrá entonces: x=30 Si tenemos una ecuación como –3x=10, se deberá quitar el numero –3, multiplicando ambos miembros por el inverso multiplicativo de –3 que es –1/3 (NOTA en el caso de tener –y, recordar que –y significa (–1)(y) y entonces eliminar el signo menos significa multiplicar por el inverso multiplicativo de –1, que es el mismo -1) Una variante de lo anterior se muestra en el siguiente caso: 3x =8, 4 en donde se debe recordar que 3x 3 = ( ) x , y en general: 4 4

ax a = ( )x b b y entonces, se despeja x multiplicando por el inverso multiplicativo de a/b, que es b/a

Despeja la incógnita en cada caso, usando:

a) la propiedad del inverso multiplicativo y b) aplicando la misma operación básica (suma, resta, multiplicación o división) a los dos miembros de la ecuación.

2x=60 6z = 11 7 12=-3y -2z=40 -y=77 − 3 = z 3 y 3 6x =1 = −3 5 5

DESPEJAR

Para conocer el valor de la incógnita es necesario “despejarla” en la ecuación, o sea, dejarla sola. En 3x=6 sabemos que x=2 porque 3 por 2 es 6, pero ¿cómo obtenemos x?, ¿cómo la despejamos? LAS REGLAS Para despejar a la incógnita en una ecuación, las reglas o leyes que se utilizan son las operaciones muy conocidas de SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN de números y algunas propiedades de los números; las veremos a continuación.

ECUACIONES E INCÓGNITAS UNA ECUACIÓN

Es una igualdad entre expresiones algebraicas. Un ejemplo de una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es 2x+3, Entonces una ecuación puede ser 2x+3=7x para las expresiones 2x+3 y 7x o también 7-x=2 para las expresiones 7-x y 2. La letra x (u otra letra, generalmente las últimas del alfabeto, x, y z), representa un numero cualquiera y es la llamada incógnita, que es lo que se desea conocer en la ecuación dada. Aunque no se conoce el valor de x, no debe ser un problema el trabajar con estas expresiones; en el ultimo ejemplo, 7-x=2, si se sabe que, si al número 7

le restamos el numero x, obtendremos el numero 2. Entonces, lo que deseamos, una vez que identificamos la ecuación, es CONOCER el valor de x que hace que la igualdad entre las expresiones se cumpla; a esto se le llama RESOLVER LA ECUACIÓN.

Señala las ecuaciones en la siguiente lista 3x+6

5-y=-2 3x-4=6+5x X3-5x2+3x-2 0=33-y+12 25 y + y3 − 6 17 3 -5x4+8=-44x x − 33 + x 2 12-y+32-y3=7y-63 2x-5=9x

Introducción

APRENDIENDO A DESPEJAR

Autor: LUIS QUINTANAR MEDINA*

Ejercitaremos el despeje en ecuaciones de primer grado y lo haremos a tres niveles: El primero en que solo se consideran expresiones directas, la habilidad que se desarrolla es el despeje en expresiones del tipo, en donde a y b son números dados; el segundo nivel, en donde las expresiones que involucran a la incógnita son mas complicadas, y el tercero, en donde se comentan las ideas de lo que se hizo en los dos niveles anteriores. Se recomienda que se realicen todas las actividades sugeridas ya que la ejercitación es el único camino cierto para dominar el despeje de incógnitas.

aprendiendo a despejar